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时间:2021-01-24 19:23  编辑:wendj

1.[2015·潍坊一模]已知函数f(x)=x--alnx.

(1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;

(2)设g(x)=x+-(lnx)a,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值.

解 (1)由题意f′(x)=1+-=.

由于f(x)无极值点,故x2-ax+1≥0在(0,+∞)恒成立,

即a≤x+,x∈(0,+∞)恒成立,

又x+≥2(x=1取等号),故min=2,

∴a≤2.

(2)当a=2,g(x)=x+-(lnx)2,

g′(x)=1--2lnx·=.

设k(x)=x2-2xlnx-1.

k′(x)=2x-2lnx-2=2(x-1-lnx),

下面证明:lnx≤x-1,设m(x)=lnx-x+1,m′(x)=-1=,

x∈(0,1)时,m′(x)>0,m(x)单调递增,

x∈(1,+∞)时,m′(x)0,当x∈(-∞,0)时,g(x)0;当x∈(0,x0)时,g(x)0,∴f(x)在x=0处不取极值,这与题设矛盾.

③若x0a,f′(x)a,f′(x)>0,∴f(x)在x=0处取得极小值.

综上所述,x0

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