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时间:2020-10-22 20:13  编辑:wendj

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)

本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。

参考公式:

锥体的体积公式,其中为柱体的底面积,为柱体的高.

球的体积,其中为球的半径。

一组数据的标准差,其中表示这组数据的平均数。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求。

1.设为虚数单位,则复数=()

2.设集合;则()

3.若向量;则()

4.下列函数为偶函数的是()

5.已知变量满足约束条件,则的最小值为()

6.在中,若,则()

7.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为()

8.在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,则弦的长等于()

9.执行如下图所示的程序框图,若输入的值为6,则输出的值为()

10.对任意两个非零的平面向量和,定义;若两个非零的平面向量满足,与的夹角,且都在集合中,则()

二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。

(一)必做题(11-13题)

11.函数的定义域为_________。

12.等比数列满足,则。

13.由正整数组成的一组数据,其平均数和中位数都是,且标准差等于,则这组数据为_________。

(从小到大排列)

(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为

(是参数,)和(是参数),它们的交点坐标为_______.

15.(几何证明选讲选做题)如图所示,直线与圆想切于点,是弦上的点,,若,则_______。

三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

(本小题满分12分)已知函数,且。

(1)求的值;(2)设,;求的值

17.(本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:

[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

(1)求图中的值;

(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数。

18.(本小题满分13分)如下图5所示,在四棱锥中,平面,,是中点,是上的点,且,为中边上的高。

(1)证明:平面;

(2)若,求三棱锥的体积;

(3)证明:平面.

19.(本小题满分14分)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足.

(1)求的值;(2)求数列的通项公式。

20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,

且点在上。(1)求的方程;(2)设直线同时与椭圆和抛物线相切,求直线的方程。

21.(本小题满分14分)设,集合,,

。(1)求集合(用区间表示);(2)求函数在内的极值点。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)参考答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分40分。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

A

A

D

C

B

C

B

C

A

1.【解析】选依题意:

2.【解析】选

3.【解析】选

4.【解析】选与是奇函数,,是非奇非偶函数

5.【解析】选约束条件对应边际及内的区域:,则

6.【解析】选由正弦定理得:

7.【解析】选几何体是半球与圆锥叠加而成,它的体积为

8.【解析】选圆的圆心到直线的距离,弦的长

9.【解析】选

10.【解析】选

都在集合中得:。

二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。

(一)必做题(11-13题)

9.【解析】定义域为,中的满足:或

10.【解析】,

11.【解析】这组数据为,不妨设得:

①如果有一个数为或;则其余数为,不合题意;②只能取;得:这组数据为

(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)

14.【解析】它们的交点坐标为,解得:交点坐标为

15.【解析】,得:

。

三、解答题:本大题共6小题,满分80分。

16.解:(1)。

(2),,。

,,,

17.解:(1)。

(2)平均分为。

(3)数学成绩在内的人数为人,数学成绩在外的人数为人。

答:(1);(2)这100名学生语文成绩的平均分为;(3)数学成绩在外的人数为人。

18.(1)证明:平面,面,又平面,

平面。

(2)是中点点到面的距离,

三棱锥的体积。

(3)取的中点为,连接。

,又平面,平面平面平面,

又平面平面,平面面,

点是棱的中点,又,得:平面。

19.解:(1)在中,令。

(2),相减得:,,

相减得:,,,得,

,得:数列是以为首项,为公比的等比数列,

。

20.解:(1)由题意得:,故椭圆的方程为:。

(2)①当直线的斜率不存在时,设直线,直线与椭圆相切,直线与抛物线相切,得:不存在。

②当直线的斜率存在时,设直线,直线与椭圆相切两根相等;直线与抛物线相切两根相等

,解得:或。

21.解:(1)对于方程,判别式。

因为,所以。

当时,,此时,所以;

当时,,此时,所以;

当时,,设方程的两根为且,

则,,

,,所以,此时,

综上可知,当时,;

当时,;当时,。

(2),由,

由或,所以函数在区间和上为递增,在区间上为递减。

当时,因为,所以在内有极大值点和极小值点;

当时,,所以在内有极大值点;

当时,

,在内有极大值点。

综上可知:当时,在内有极大值点;当时,在内有极大值点和极小值点。

。

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