高三下学期第一次月考
数学(文)试题
一、选择题
1.已知集合{}0,2,4,6A =, {N |233}x B x =∈≤,则集合A B ⋂的子集个数为
( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 4
【答案】C
【解析】由{N |233}x B x =∈≤得: {}0,1,2,3,4,5B =,则{}0,2,4A B ⋂=,则集合A B ⋂的子集个数为328=,故选C.
2.设i 为虚数单位,复数2i
1i
a ++为实数,则实数a 的值为( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
【答案】D 【解析】
()()()()
()()2i 1
i 222i 1i 1i 1i 2a a a i a +-++-+==
++-,由于2i 1i a ++为实数,故20a -=,即2a =,
故选D.
3.抛物线2
8y x =0y -=的距离是( )
A.
B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】28y x =的焦点为()2,0,由点到直线的距离可得: d == A. 4.“p ⌝为真”是“p q ∨为假”的( )条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】∵p q ∨为假,∴p 为假,∴p ⌝为真,反之不成立,可能p 为真q 为假, ∴“p ⌝为真”是“p q ∨为假”的必要不充分条件,故选B.
5.已知等比数列的前三项分别是1,1,4a a a -++,则数列的通项公式n a 为( )
A. 342n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
B. 1
342n -⎛⎫⨯ ⎪
⎝⎭
C. 243n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
D. 1
243n -⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
【答案】B
【解析】∵等比数列的前三项为1,1,4a a a -++,∴()()()2
114a a a +=-+,解得
5a =,
则等比数列的前三项为4, 6, 9,∴公比32
q =
, ∴1
342n n a -⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
,故选B.
6.变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示:
若,x y 之间的线性回归方程为122ˆ.8ˆy
bx =+,则ˆb 的值为( ) A. -0.96 B. -0.94 C. -0.92 D. -0.98
【答案】A
【解析】由表可得样本中心点为()5.5,7,由线性回归方程过样本中心点可得:
ˆ7 5.512.28b
=+, 即ˆ0.96b
=-,故选A. 7.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且8320S S -=,则11S 的值为( ) A. 66 B. 48 C. 44 D. 12
【答案】C
【解析】由8320S S -=得: 4567820a a a a a ++++=,由等差数列的性质可得:
64a =,
则()11111
6
1111442
a a S a
+=⨯==,故选C.
8.在如图所示的程序框图中,若输出的值是3,则输入x 的取值范围是( )
A. (]2,4
B. ()2,+∞
C. (]
4,10 D. ()4,+∞
【答案】C
【解析】设输入x a =,
第一次执行循环体后, 32x a =-, 1i =,不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体后, 98x a =-, 2i =,不满足退出循环的条件; 第三次执行循环体后, 2726x a =-, 3i =,满足退出循环的条件; 故9882a -≤,且272682a ->,解得: 410]a ∈(,,故选C.
9.如图,网格纸的小正方形的边长是1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )
A.
52 B. 72 C. 2+ D. 3+【答案】B
【解析】根据几何体的三视图得:该几何体是上部为三棱柱,下部为长方体的组合体,且三棱柱的底面为底面边长是1,底边上的高是1,三棱柱的高是3,长方体的底面是边长为1的正方形,高是2;所以该几何体的体积为
17
11311222
V V V =+=
⨯⨯⨯+⨯⨯=三棱柱长方体,故选B. 点睛:本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出几何体
的结构特征,是基础题目;根据几何体的三视图,得出该几何体是三棱柱与长方体的组合体,结合图中数据即可求出它的体积.
10.已知圆
()
2
23
14
x y -+=
的一条切线y kx =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点,则双曲线C 的离心率的取值范围是( )
A. (
B. (]
1,2
C. )
+∞ D. [)2,+∞
【答案】B
【解析】
由题意,圆心到直线的距离d =
=
k = ∵圆()2
2
3
14x y -+=的一条切线y kx =与双曲线C : 2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>没
有交点,
∴b a ≥222
2214c b e a a
==+≤,∵双曲线的离心率1e >,∴双曲线C 的离心率的取值范围是(]
1,2,故选B.
11.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组240{2030
x y x y y +-≥--≤-≤, N 为直线23
y x =-+上任一点,则MN 的最小值是( )
A.
B. C. 1
D. 【答案】A
【解析】点M 的坐标(),x y 满足不等式组240
{2030
x y x y y +-≥--≤-≤的可行域如图
:
点M 的坐标(),x y 满足不等式组240
{2030
x y x y y +-≥--≤-≤, N 为直线23y x =-+上任一点,
则MN 的最小值,就是两条平行线23y x =-+与240x y +-=之间的距离:
5
d =
=
,故选A. 点睛:本题考查线性规划的应用,平行线之间的距离的求法,考查转化思想以及计算能力,解决本题的关键是作出不等式组所表示的平面区域与23y x =-+的位置关系,难度一般;画出约束条件的可行域,利用已知条件,把MN 的最小值转化求解平行线间的距离即可.
12.已知函数()ln ln 1x
f x x x
=-+, ()f x 在0x x =处取得最大值,以下各式中: ①()00f x x ＜;②()00f x x =;③()00f x x >;④()012f x ＜;⑤()01
2
f x >
正确的序号是( )
A. ③⑤
B. ②⑤
C. ①④
D. ②④
【答案】D
【解析】求导函数,可得()()
2
1'1x lnx
f x x ++-
+=,令1g x x lnx =++(),则函数有唯一
零点,即0x , ∴
001x lnx --=,∴
()
0000
1111x f x x x x --=--=+(),即②正确;
()()()
00000211221x lnx x f x x --+-=+,∵001x lnx --=, ∴()()()
0000121221x lnx f x x --=+, 12x =时, 031
122'0'924
ln
f f x +=-=()＜()
,
∴0x 在12x =
左侧,∴01
2x ＜,∴0120x ->,∴()()
00012021x lnx x -＜+,∴()012f x ＜ ∴④正确综上知,②④正确,故选D.
点睛:本题考查导数知识的应用,考查学生分析解决问题的能力,计算量较大,有难度;求导函数,可得()()
2
1'1x lnx
f x x ++-
+=,令1gx x l n x
=++(),则函数有唯一零点,即0x ,
代入验证,即可得到结论.
二、填空题
13.函数()2
23f x x x =--, []4,4x ∈-,任取一点[]
04,4x ∈-,则()00f x ≤的
概率为__________.
【答案】1
2
【解析】∵()00f x ≤,∴200230x x --≤,∴013x -≤≤,即[]
013x ∈-,, ∵在定义域内任取一点0x ,∴[]
044x ∈-,,
∴使()00f x ≤的概率311442P +=
=+,故答案为1
2
. 14.已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- ,且a b a b +=-
,则
2a b +=
__________.
【答案】()4,8--;
【解析】由已知得, ()()1,2,3,2a b m a b m +=-+-=-
,又a b a b +=- ,所以
()()()222
21232m m -++=+-,解得1m =,即()2,1b =-
,则()23,4a b +=-
,
所以25a b +=
=
.
15.如图,球面上有,,A B C 三点, 90ABC ∠=
, 2BA BC ==,球心O 到平
面ABC __________.
【答案】
32π
3
【解析】由题意 2BA BC ==, 90ABC ∠=
,可知AC =球心O 到平面ABC
,正好是球心到AC 的中点的距离,所以球的半径是2,球的体积是:
3432233ππ⨯=,故答案为: 32π3
. 16.已知函数()ln f x x =, 0a b >>, ()()f a f b =,则22a b a b
+-的最小值等
于__________.
【答案】【解析】因为()ln f x x =, ()()f a f b =,所以ln ln a b =, 即ln ln a b =±,又0a b >>,所以ln ln a b =-, 1ab =,
所以()()2
2222a b ab a b a b a b a b a b
-++-+≥---==,当且仅当1ab =且
2
a b a b --=时取等号,所以22a b a b
+-的最小值为
点睛:本题主要考查基本不等式的应用,利用对数函数的图象和性质求出1ab =是解决
本题的关键,注意在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件;在该题中根据对数函数的性质,求出
1ab =,然后将22
a b a b +-转化为()()
2
22a b ab a b a b a b
-+-+--=,利用基本不等式求最小值.
三 、解答题
17.《中国好声音(
)》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打
造的大型励志专业音乐评论节目,于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手,当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中,6位选手唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示:
现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况. (1)请列出所有的基本事件;
(2)求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人,而另一人为其转身的导师不多于2人的概率.
【答案】(1)所有的基本事件见解析;(2).
【解析】试题分析:(1) 设位选手中,有4位导师为其转身,有3位导师为其转
身,
有2位导师为其转身,只有1位导师为其转身,一一列出基本事件共有
即可;
(2)在(1)所列基本事件中找出事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人,而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件共个,即可计算其概率.
试题解析: (1)设6位选手中,有4位导师为其转身,有3位导师为其转身,
有2位导师为其转身,只有1位导师为其转身.………………3分 则所有的基本事件有
共15个.……6分
(2)事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人,而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件有:共9个, (9)
分
故所求概率为.………………12分
【考点】1.随机事件;2.古典概型.
18.如图,在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中,侧面11A ACC ⊥底面ABC ,
160A AC ∠= .
(1)求三棱柱111ABC A B C -的体积;
(2)已知点D 是平面ABC 内一点,且四边形ABCD 为平行四边形,在直线1AA 上是否存在点P ,使//DP 平面1ABC ?若存在,请确定点P 的位置,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)3;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)作1A H AC ⊥,由面面垂直性质定理可得1A H ⊥底面
ABC ,故可求出三棱柱111ABC A B C -的高,结合体积公式得解;(2)连接1,,AD CD A D ,可证得四边形11A B CD 是平行四边形,即11//A D B C ,由线面平行判定定理可得结论. 试题解析:(1)作1A H A C ⊥,因为侧面11A ACC ⊥底面ABC ,所以1A H ⊥底面ABC ,
又
因
为
160A AC ∠= ,
所
以
012sin60A H =⨯=,所以
0122sin6032V Sh ⎛⎫
==⨯⨯ ⎪⎝⎭
.
(2)点P 与1A 重合即可,连接1,,AD CD A
D ,可证得四边形11A B CD 是平行四边形,
11//A D B C , 1B C ⊂平面1ABC , 1A D ⊄平面1ABC ,∴1//A D 平面1ABC
, 即//DP 平面1ABC .
19.函数()()π
sin (0,)2
f x x ωϕωϕ=+>＜
的部分图象如图所示,将()y f x =的图象向右平移
π
4
个单位长度后得到函数()y g x =的图象.
(1)求函数()y g x =的解析式;
(2)在ABC ∆中,内角,,A B C 满足2π2sin 123A B g C +⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且其外接圆
的半径2R =,求ABC ∆的面积的最大值.
【答案】(1)()sin 26g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
;(2 【解析】试题分析:(1)由图知周期T ,利用周期公式可求ω,由112f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,结合范围π
2
ϕ＜
,可求ϕ的值,进而利用三角函数图象变换的规律即可得解;(2)利用三角函数恒等变换的应用及三角形内角和定理化简已知可得1
cos 2
C =-,进而可求C ,
由正弦定理解得c 的值,进而由余弦定理,基本不等式可求4ab ≤,利用三角形面积公
式即可得解面积的最大值. 试题解析:(1)由图知,
24126π
ππω⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
,解得: 2ω=,
sin 2?11212f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,∴()262k k Z ππϕπ+=+∈,即()23k k Z πϕπ=+∈
,
∵2
2
π
π
ϕ-
＜＜
,∴3
π
ϕ=
.
∴()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦,
即函数()y g x =的解析式()sin 26g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
. (2)∵2
2sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,∴()1cos 1sin 22A B C π⎛
⎫-+=++ ⎪⎝
⎭, ()cos cos A B C +=-, sin 2cos22C C π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭, 2cos 2cos 1C C =-,
1cos 2C =-
或1(舍),23
C π
=,
由正弦定理得:
24sin c
R C ==, c = 由余弦定理得: 22122a b ab ab +=-≥, 4ab ≤,
1
sin 24
ABC S C ab ∆==≤,
∴ABC ∆
点睛:本题主要考查了三角函数周期公式,三角函数图象变换的规律,三角函数恒等变
换的应用,三角形内角和定理,正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想的应用,均属高考中的高频考点,属于中档题;掌握,,A ωϕ在函数的图象中所起到的具体作用是关键.
20.平面直角坐标系xOy 中,椭圆1C : 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,
过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两
弦长之和为6.
(1)求椭圆的方程;
(2),A B 是抛物线2C : 24x y =上两点,且,A B 处的切线相互垂直,直线AB 与椭圆1C 相交于,C D 两点,求弦CD 的最大值.
