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时间:2020-05-20 03:58  编辑:wendj

高三下学期第一次月考

数学(文)试题

一、选择题

1.已知集合{}0,2,4,6A =, {N |233}x B x =∈≤,则集合A B ⋂的子集个数为

( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 4

【答案】C

【解析】由{N |233}x B x =∈≤得: {}0,1,2,3,4,5B =,则{}0,2,4A B ⋂=,则集合A B ⋂的子集个数为328=,故选C.

2.设i 为虚数单位,复数2i

1i

a ++为实数,则实数a 的值为( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

【答案】D 【解析】

()()()()

()()2i 1

i 222i 1i 1i 1i 2a a a i a +-++-+==

++-,由于2i 1i a ++为实数,故20a -=,即2a =,

故选D.

3.抛物线2

8y x =0y -=的距离是( )

A.

B. C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】28y x =的焦点为()2,0,由点到直线的距离可得: d == A. 4.“p ⌝为真”是“p q ∨为假”的( )条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

【答案】B

【解析】∵p q ∨为假,∴p 为假,∴p ⌝为真,反之不成立,可能p 为真q 为假, ∴“p ⌝为真”是“p q ∨为假”的必要不充分条件,故选B.

5.已知等比数列的前三项分别是1,1,4a a a -++,则数列的通项公式n a 为( )

A. 342n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭

B. 1

342n -⎛⎫⨯ ⎪

⎝⎭

C. 243n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭

D. 1

243n -⎛⎫

⨯ ⎪

⎝⎭

【答案】B

【解析】∵等比数列的前三项为1,1,4a a a -++,∴()()()2

114a a a +=-+,解得

5a =,

则等比数列的前三项为4, 6, 9,∴公比32

q =

, ∴1

342n n a -⎛⎫

=⨯ ⎪

⎝⎭

,故选B.

6.变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示:

若,x y 之间的线性回归方程为122ˆ.8ˆy

bx =+,则ˆb 的值为( ) A. -0.96 B. -0.94 C. -0.92 D. -0.98

【答案】A

【解析】由表可得样本中心点为()5.5,7,由线性回归方程过样本中心点可得:

ˆ7 5.512.28b

=+, 即ˆ0.96b

=-,故选A. 7.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且8320S S -=,则11S 的值为( ) A. 66 B. 48 C. 44 D. 12

【答案】C

【解析】由8320S S -=得: 4567820a a a a a ++++=,由等差数列的性质可得:

64a =,

则()11111

6

1111442

a a S a

+=⨯==,故选C.

8.在如图所示的程序框图中,若输出的值是3,则输入x 的取值范围是( )

A. (]2,4

B. ()2,+∞

C. (]

4,10 D. ()4,+∞

【答案】C

【解析】设输入x a =,

第一次执行循环体后, 32x a =-, 1i =,不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体后, 98x a =-, 2i =,不满足退出循环的条件; 第三次执行循环体后, 2726x a =-, 3i =,满足退出循环的条件; 故9882a -≤,且272682a ->,解得: 410]a ∈(,,故选C.

9.如图,网格纸的小正方形的边长是1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )

A.

52 B. 72 C. 2+ D. 3+【答案】B

【解析】根据几何体的三视图得:该几何体是上部为三棱柱,下部为长方体的组合体,且三棱柱的底面为底面边长是1,底边上的高是1,三棱柱的高是3,长方体的底面是边长为1的正方形,高是2;所以该几何体的体积为

17

11311222

V V V =+=

⨯⨯⨯+⨯⨯=三棱柱长方体,故选B. 点睛:本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出几何体

的结构特征,是基础题目;根据几何体的三视图,得出该几何体是三棱柱与长方体的组合体,结合图中数据即可求出它的体积.

10.已知圆

()

2

23

14

x y -+=

的一条切线y kx =与双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点,则双曲线C 的离心率的取值范围是( )

A. (

B. (]

1,2

C. )

+∞ D. [)2,+∞

【答案】B

【解析】

由题意,圆心到直线的距离d =

=

k = ∵圆()2

2

3

14x y -+=的一条切线y kx =与双曲线C : 2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>没

有交点,

∴b a ≥222

2214c b e a a

==+≤,∵双曲线的离心率1e >,∴双曲线C 的离心率的取值范围是(]

1,2,故选B.

11.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组240{2030

x y x y y +-≥--≤-≤, N 为直线23

y x =-+上任一点,则MN 的最小值是( )

A.

B. C. 1

D. 【答案】A

【解析】点M 的坐标(),x y 满足不等式组240

{2030

x y x y y +-≥--≤-≤的可行域如图

:

点M 的坐标(),x y 满足不等式组240

{2030

x y x y y +-≥--≤-≤, N 为直线23y x =-+上任一点,

则MN 的最小值,就是两条平行线23y x =-+与240x y +-=之间的距离:

5

d =

=

,故选A. 点睛:本题考查线性规划的应用,平行线之间的距离的求法,考查转化思想以及计算能力,解决本题的关键是作出不等式组所表示的平面区域与23y x =-+的位置关系,难度一般;画出约束条件的可行域,利用已知条件,把MN 的最小值转化求解平行线间的距离即可.

12.已知函数()ln ln 1x

f x x x

=-+, ()f x 在0x x =处取得最大值,以下各式中: ①()00f x x <;②()00f x x =;③()00f x x >;④()012f x <;⑤()01

2

f x >

正确的序号是( )

A. ③⑤

B. ②⑤

C. ①④

D. ②④

【答案】D

【解析】求导函数,可得()()

2

1'1x lnx

f x x ++-

+=,令1g x x lnx =++(),则函数有唯一

零点,即0x , ∴

001x lnx --=,∴

()

0000

1111x f x x x x --=--=+(),即②正确;

()()()

00000211221x lnx x f x x --+-=+,∵001x lnx --=, ∴()()()

0000121221x lnx f x x --=+, 12x =时, 031

122'0'924

ln

f f x +=-=()<()

,

∴0x 在12x =

左侧,∴01

2x <,∴0120x ->,∴()()

00012021x lnx x -<+,∴()012f x < ∴④正确综上知,②④正确,故选D.

点睛:本题考查导数知识的应用,考查学生分析解决问题的能力,计算量较大,有难度;求导函数,可得()()

2

1'1x lnx

f x x ++-

+=,令1gx x l n x

=++(),则函数有唯一零点,即0x ,

代入验证,即可得到结论.

二、填空题

13.函数()2

23f x x x =--, []4,4x ∈-,任取一点[]

04,4x ∈-,则()00f x ≤的

概率为__________.

【答案】1

2

【解析】∵()00f x ≤,∴200230x x --≤,∴013x -≤≤,即[]

013x ∈-,, ∵在定义域内任取一点0x ,∴[]

044x ∈-,,

∴使()00f x ≤的概率311442P +=

=+,故答案为1

2

. 14.已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- ,且a b a b +=-

,则

2a b +=

__________.

【答案】()4,8--;

【解析】由已知得, ()()1,2,3,2a b m a b m +=-+-=-

,又a b a b +=- ,所以

()()()222

21232m m -++=+-,解得1m =,即()2,1b =-

,则()23,4a b +=-

,

所以25a b +=

=

.

15.如图,球面上有,,A B C 三点, 90ABC ∠=

, 2BA BC ==,球心O 到平

面ABC __________.

【答案】

32π

3

【解析】由题意 2BA BC ==, 90ABC ∠=

,可知AC =球心O 到平面ABC

,正好是球心到AC 的中点的距离,所以球的半径是2,球的体积是:

3432233ππ⨯=,故答案为: 32π3

. 16.已知函数()ln f x x =, 0a b >>, ()()f a f b =,则22a b a b

+-的最小值等

于__________.

【答案】【解析】因为()ln f x x =, ()()f a f b =,所以ln ln a b =, 即ln ln a b =±,又0a b >>,所以ln ln a b =-, 1ab =,

所以()()2

2222a b ab a b a b a b a b a b

-++-+≥---==,当且仅当1ab =且

2

a b a b --=时取等号,所以22a b a b

+-的最小值为

点睛:本题主要考查基本不等式的应用,利用对数函数的图象和性质求出1ab =是解决

本题的关键,注意在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件;在该题中根据对数函数的性质,求出

1ab =,然后将22

a b a b +-转化为()()

2

22a b ab a b a b a b

-+-+--=,利用基本不等式求最小值.

三、解答题

17.《中国好声音(

)》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打

造的大型励志专业音乐评论节目,于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手,当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中,6位选手唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示:

现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况. (1)请列出所有的基本事件;

(2)求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人,而另一人为其转身的导师不多于2人的概率.

【答案】(1)所有的基本事件见解析;(2).

【解析】试题分析:(1) 设位选手中,有4位导师为其转身,有3位导师为其转

身,

有2位导师为其转身,只有1位导师为其转身,一一列出基本事件共有

即可;

(2)在(1)所列基本事件中找出事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人,而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件共个,即可计算其概率.

试题解析: (1)设6位选手中,有4位导师为其转身,有3位导师为其转身,

有2位导师为其转身,只有1位导师为其转身.………………3分 则所有的基本事件有

共15个.……6分

(2)事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人,而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件有:共9个, (9)

故所求概率为.………………12分

【考点】1.随机事件;2.古典概型.

18.如图,在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中,侧面11A ACC ⊥底面ABC ,

160A AC ∠= .

(1)求三棱柱111ABC A B C -的体积;

(2)已知点D 是平面ABC 内一点,且四边形ABCD 为平行四边形,在直线1AA 上是否存在点P ,使//DP 平面1ABC ?若存在,请确定点P 的位置,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)3;(2)详见解析.

【解析】试题分析:(1)作1A H AC ⊥,由面面垂直性质定理可得1A H ⊥底面

ABC ,故可求出三棱柱111ABC A B C -的高,结合体积公式得解;(2)连接1,,AD CD A D ,可证得四边形11A B CD 是平行四边形,即11//A D B C ,由线面平行判定定理可得结论. 试题解析:(1)作1A H A C ⊥,因为侧面11A ACC ⊥底面ABC ,所以1A H ⊥底面ABC ,

160A AC ∠= ,

012sin60A H =⨯=,所以

0122sin6032V Sh ⎛⎫

==⨯⨯ ⎪⎝⎭

.

(2)点P 与1A 重合即可,连接1,,AD CD A

D ,可证得四边形11A B CD 是平行四边形,

11//A D B C , 1B C ⊂平面1ABC , 1A D ⊄平面1ABC ,∴1//A D 平面1ABC

, 即//DP 平面1ABC .

19.函数()()π

sin (0,)2

f x x ωϕωϕ=+><

的部分图象如图所示,将()y f x =的图象向右平移

π

4

个单位长度后得到函数()y g x =的图象.

(1)求函数()y g x =的解析式;

(2)在ABC ∆中,内角,,A B C 满足2π2sin 123A B g C +⎛⎫⎛

⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且其外接圆

的半径2R =,求ABC ∆的面积的最大值.

【答案】(1)()sin 26g x x π⎛

=-

⎪⎝

;(2 【解析】试题分析:(1)由图知周期T ,利用周期公式可求ω,由112f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

,结合范围π

2

ϕ<

,可求ϕ的值,进而利用三角函数图象变换的规律即可得解;(2)利用三角函数恒等变换的应用及三角形内角和定理化简已知可得1

cos 2

C =-,进而可求C ,

由正弦定理解得c 的值,进而由余弦定理,基本不等式可求4ab ≤,利用三角形面积公

式即可得解面积的最大值. 试题解析:(1)由图知,

24126π

ππω⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

,解得: 2ω=,

sin 2?11212f ππϕ⎛⎫⎛⎫

=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,∴()262k k Z ππϕπ+=+∈,即()23k k Z πϕπ=+∈

,

∵2

2

π

π

ϕ-

<<

,∴3

π

ϕ=

.

∴()sin 23f x x π⎛

=+

⎪⎝

sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛

⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝

⎭⎝⎭⎣⎦,

即函数()y g x =的解析式()sin 26g x x π⎛

=-

⎪⎝

. (2)∵2

2sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,∴()1cos 1sin 22A B C π⎛

⎫-+=++ ⎪⎝

⎭, ()cos cos A B C +=-, sin 2cos22C C π⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭, 2cos 2cos 1C C =-,

1cos 2C =-

或1(舍),23

C π

=,

由正弦定理得:

24sin c

R C ==, c = 由余弦定理得: 22122a b ab ab +=-≥, 4ab ≤,

1

sin 24

ABC S C ab ∆==≤,

∴ABC ∆

点睛:本题主要考查了三角函数周期公式,三角函数图象变换的规律,三角函数恒等变

换的应用,三角形内角和定理,正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想的应用,均属高考中的高频考点,属于中档题;掌握,,A ωϕ在函数的图象中所起到的具体作用是关键.

20.平面直角坐标系xOy 中,椭圆1C : 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,

过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两

弦长之和为6.

(1)求椭圆的方程;

(2),A B 是抛物线2C : 24x y =上两点,且,A B 处的切线相互垂直,直线AB 与椭圆1C 相交于,C D 两点,求弦CD 的最大值.

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